【韦布尔分布的定义】韦布尔分布（Weibull Distribution）是一种连续概率分布，广泛应用于可靠性工程、寿命分析、生存分析以及风速建模等领域。它由瑞典工程师瓦尔德马·韦布尔（Waldemar Weibull）在20世纪50年代提出，因此得名。该分布因其灵活性和对多种失效模式的良好拟合能力而被广泛使用。
韦布尔分布具有两个主要参数：形状参数（β）和尺度参数（η）。形状参数决定了分布的形态，而尺度参数则影响分布的集中程度。根据不同的β值，韦布尔分布可以描述不同类型的失效行为，如早期失效、随机失效或晚期失效。
韦布尔分布的核心特点总结：
| 特点 | 内容 |
| 类型 | 连续概率分布 |
| 应用领域 | 可靠性分析、寿命测试、风速建模等 |
| 参数 | 形状参数 β（控制分布形态），尺度参数 η（控制分布位置） |
| 概率密度函数 | $ f(x; \beta, \eta) = \frac{\beta}{\eta} \left( \frac{x}{\eta} \right)^{\beta - 1} e^{-\left( \frac{x}{\eta} \right)^{\beta}} $，其中 $ x \geq 0 $ |
| 累积分布函数 | $ F(x; \beta, \eta) = 1 - e^{-\left( \frac{x}{\eta} \right)^{\beta}} $ |
| 平均寿命 | $ \eta \Gamma\left(1 + \frac{1}{\beta}\right) $ |
| 中位数 | $ \eta (\ln 2)^{1/\beta} $ |
| 失效率函数 | $ \lambda(x) = \frac{\beta}{\eta} x^{\beta - 1} $ |
不同形状参数 β 的含义：
| β 值 | 分布特性 | 典型应用 |
| β < 1 | 失效率随时间下降 | 早期失效阶段（如产品初期故障） |
| β = 1 | 失效率为常数 | 服从指数分布，随机失效阶段 |
| β > 1 | 失效率随时间上升 | 晚期失效阶段（如设备老化） |
通过调整形状参数 β 和尺度参数 η，韦布尔分布能够灵活地模拟各种实际场景中的寿命数据。它不仅适用于机械系统，也可用于生物医学研究、金融风险评估等多个领域。理解其定义与特性，有助于在实际问题中更准确地进行数据分析和预测。
