📚 多变量微积分笔记10 🎯——二重积分的应用

在数学的世界里，二重积分不仅仅是计算面积或体积的工具，更是解决实际问题的强大武器！🤔 在这节课中，我们深入探讨了它在物理、工程和经济学中的应用。

首先，让我们想想如何用二重积分求解一个物体的质量。假设物体的密度分布不均匀，通过二重积分可以轻松算出它的总质量！✨ 比如，当物体的密度函数为 $ \rho(x, y) $，而区域 $ D $ 是其所在平面区域时，总质量公式为：

$$ M = \iint_D \rho(x, y) \, dA $$

是不是很神奇？👏

接着，我们还学习了如何利用二重积分计算重心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$：

$$ \bar{x} = \frac{\iint_D x \cdot \rho(x, y) \, dA}{M}, \quad \bar{y} = \frac{\iint_D y \cdot \rho(x, y) \, dA}{M} $$

这不仅帮助工程师设计更稳定的结构，也让科学家更好地研究自然现象。🔍

最后，别忘了二重积分还能用于计算流体流量、电荷分布等复杂问题！💡

快拿起笔，一起探索更多奇妙的应用吧！🎯