在解析几何中，研究直线与圆的关系是一个重要的课题。其中，计算由直线与圆相交所形成的弦长是一项基础而实用的任务。本文将从几何原理出发，逐步推导出这一公式的表达形式，并通过具体的例子加以验证。
一、问题背景与设定
假设我们有一条直线 \( L \) 和一个圆 \( C \)，它们的方程分别为：
- 直线 \( L \): \( ax + by + c = 0 \)
- 圆 \( C \): \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)
其中，\( a, b, c, h, k, r \) 均为已知常数，且满足 \( a^2 + b^2 > 0 \)（保证直线非退化）以及 \( r > 0 \)（保证圆存在）。我们需要确定直线与圆相交时形成的弦长。
二、弦长公式的推导
步骤 1：求交点坐标
设直线 \( L \) 与圆 \( C \) 的两个交点分别为 \( P_1(x_1, y_1) \) 和 \( P_2(x_2, y_2) \)。根据题意，这些交点同时满足直线和圆的方程。
首先，将直线方程代入圆方程，得到关于 \( x \) 的二次方程：
\[
(ax + by + c)^2 = r^2 \left[ 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2 \right]
\]
展开并整理后可得：
\[
Ax^2 + Bx + C = 0
\]
其中，系数 \( A, B, C \) 可以通过具体展开计算得出。
步骤 2：利用韦达定理求解根间距
对于上述二次方程，其两根 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 满足韦达定理：
\[
x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}, \quad x_1 x_2 = \frac{C}{A}
\]
对应的 \( y_1 \) 和 \( y_2 \) 可通过直线方程 \( y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \) 计算得出。
步骤 3：计算弦长
弦长 \( d \) 的公式为：
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
结合韦达定理的结果，可以进一步简化为：
\[
d = \sqrt{\Delta / A^2}
\]
其中，\( \Delta = B^2 - 4AC \) 是二次方程的判别式。
最终，弦长公式为：
\[
d = \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}
\]
三、实例验证
假设直线 \( L: x + y - 2 = 0 \)，圆 \( C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4 \)。代入公式验证：
1. 化简二次方程：
\[
(x + y - 2)^2 = 4
\]
展开整理得：
\[
2x^2 + 2y^2 + 4xy - 8x - 8y + 8 = 0
\]
2. 使用参数化方法或代数手段解出交点坐标，计算弦长。
经过计算，最终结果为：
\[
d = 2\sqrt{2}
\]
四、总结
通过以上推导可以看出，直线与圆的弦长公式基于代数与几何相结合的方法，能够有效解决实际问题。该公式不仅适用于理论研究，还具有广泛的工程应用价值。希望本文能帮助读者深入理解这一公式的内涵及其背后的数学逻辑。
