【几何平均值公式是什么】在数学中，几何平均值是一种常用的统计指标，用于衡量一组数值的“平均”大小，尤其适用于增长率、比例变化等场景。与算术平均值不同，几何平均值更适用于数据之间存在乘法关系的情况，比如投资回报率、人口增长等。
一、几何平均值的定义
几何平均值（Geometric Mean）是将一组正数相乘后，再开n次方（n为这组数的个数）所得到的结果。它能够更准确地反映数据之间的相对变化，尤其是在涉及复利或连续增长的情况下。
二、几何平均值的公式
设有一组正数：
$$ a_1, a_2, a_3, \dots, a_n $$
则其几何平均值 $ G $ 的计算公式为：
$$
G = \sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_n}
$$
也可以表示为：
$$
G = \left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^{\frac{1}{n}}
$$
其中，$ \prod $ 表示连乘符号。
三、几何平均值的应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 投资回报率 | 计算多期投资的平均收益率 |
| 人口增长率 | 分析人口增长的平均速度 |
| 指数增长模型 | 如细菌繁殖、病毒传播等 |
| 比例数据 | 如价格指数、汇率变化等 |
四、几何平均值与算术平均值的区别
| 特征 | 几何平均值 | 算术平均值 |
| 公式 | $ \sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n} $ | $ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} $ |
| 适用范围 | 数据呈乘积关系时 | 数据呈加法关系时 |
| 对极端值敏感性 | 较低 | 较高 |
| 结果范围 | 小于或等于算术平均值 | 可以大于或小于几何平均值 |
五、举例说明
假设某公司三年的年增长率分别为：
10%、20%、30%
将其转换为小数形式：
1.10、1.20、1.30
计算几何平均值：
$$
G = \sqrt[3]{1.10 \times 1.20 \times 1.30} = \sqrt[3]{1.716} \approx 1.20
$$
即平均增长率为 20%，而不是算术平均值（约20%），但实际意义更合理。
六、总结
几何平均值是一种重要的数学工具，特别适合处理具有乘积关系的数据集。它比算术平均值更能体现数据之间的相对变化，常用于金融、经济、生物等领域。掌握其公式和应用场景，有助于更准确地分析和解释数据。
