【利用初等变换求逆矩阵】在矩阵运算中，求一个矩阵的逆矩阵是一个重要的问题。对于可逆矩阵，可以通过初等行变换（或列变换）的方法来求其逆矩阵。这种方法不仅操作性强，而且适用于大多数常见的矩阵类型。
一、基本概念
1. 可逆矩阵
若存在一个矩阵 $ B $，使得 $ AB = BA = I $（单位矩阵），则称矩阵 $ A $ 是可逆的，$ B $ 称为 $ A $ 的逆矩阵，记作 $ A^{-1} $。
2. 初等变换
初等变换包括以下三种类型：
- 交换两行（或两列）
- 将某一行（或列）乘以一个非零常数
- 将某一行（或列）加上另一行（或列）的若干倍
通过这些变换可以将矩阵化为简化行阶梯形，从而实现求逆的目的。
二、求逆矩阵的步骤（以初等行变换为例）
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 构造增广矩阵 $[A \mid I]$ | 将原矩阵 $ A $ 和单位矩阵 $ I $ 并排组成一个增广矩阵 |
| 2 | 对增广矩阵进行初等行变换 | 目标是将左边的矩阵 $ A $ 化为单位矩阵 $ I $ |
| 3 | 当左边变为 $ I $ 时 | 右边的矩阵即为 $ A^{-1} $ |
| 4 | 若无法化为单位矩阵 | 说明原矩阵不可逆 |
三、示例演示
假设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，求其逆矩阵。
步骤如下：
1. 构造增广矩阵：
$$
[A \mid I] = \left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
3 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right
$$
2. 第一步：用第一行消去第二行的第一个元素：
- 第二行减去 3 × 第一行：
$$
R_2 = R_2 - 3R_1
$$
得到：
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & -3 & 1
\end{array}\right
$$
3. 第二步：将第二行除以 -2：
- $ R_2 = \frac{1}{-2}R_2 $
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right
$$
4. 第三步：用第二行消去第一行的第二个元素：
- $ R_1 = R_1 - 2R_2 $
$$
\left[\begin{array}{cc
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{array}\right
$$
5. 结果：左边为单位矩阵，右边为逆矩阵：
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}
$$
四、总结
通过初等行变换求逆矩阵是一种系统且直观的方法，适用于大多数可逆矩阵。关键在于掌握变换规则，并严格按照步骤执行，避免计算错误。同时，应特别注意在变换过程中保持矩阵的行列式不为零，否则矩阵不可逆。
五、注意事项
| 事项 | 说明 |
| 矩阵必须可逆 | 若行列式为零，则无法求逆 |
| 注意运算顺序 | 错误的变换顺序可能导致结果错误 |
| 避免分数过多 | 可适当使用代数技巧减少复杂度 |
| 多次检查 | 在最后一步验证是否满足 $ AA^{-1} = I $ |
通过以上方法和步骤，可以有效地利用初等变换求出一个矩阵的逆矩阵，为后续的线性方程组求解、矩阵分析等提供基础支持。
