【如何求出一个函数的单调区间】在数学中，函数的单调性是研究函数性质的重要方面之一。了解一个函数的单调区间可以帮助我们更好地理解其图像变化趋势，为极值点、最值问题等提供基础依据。本文将总结如何求出一个函数的单调区间，并通过表格形式清晰展示步骤与关键点。
一、求单调区间的步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定定义域：首先明确函数的定义域，因为单调性只在定义域内讨论。 |
| 2 | 求导数：对函数进行求导，得到其导函数 f’(x)。 |
| 3 | 解不等式：根据导函数的符号判断函数的增减性： - 若 f’(x) > 0，则函数在该区间上单调递增； - 若 f’(x) < 0，则函数在该区间上单调递减。 |
| 4 | 找临界点：解方程 f’(x) = 0，找出可能的极值点或拐点。 注意：若导数不存在的点也可能是单调区间的分界点。 |
| 5 | 划分区间：将定义域按照临界点和不可导点划分为若干子区间。 |
| 6 | 判断每个区间内的单调性：在每个子区间内选取一个测试点，代入导函数，判断符号，从而确定该区间的单调性。 |
二、关键点说明
- 导数的作用：导数是判断函数单调性的核心工具。正负号的变化直接反映函数的上升或下降趋势。
- 临界点的处理：当导数为零时，函数可能有极值，但不一定改变单调性。需要结合左右两侧的导数符号来判断。
- 不可导点的处理：如函数在某些点不可导（例如分段函数的连接点），需特别关注这些点是否影响单调性。
- 区间表示方式：通常用开区间或闭区间表示单调区间，具体取决于函数在端点处的可导性和连续性。
三、示例说明（以函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 为例）
| 步骤 | 操作 |
| 定义域 | 所有实数，即 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 求导 | $ f'(x) = 3x^2 - 3 $ |
| 解不等式 | 令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = \pm 1 $ |
| 划分区间 | 将定义域分为三个区间：$ (-\infty, -1) $、$ (-1, 1) $、$ (1, +\infty) $ |
| 判断单调性 | - 在 $ (-\infty, -1) $ 上，取 $ x = -2 $，$ f'(-2) = 9 > 0 $，递增 - 在 $ (-1, 1) $ 上，取 $ x = 0 $，$ f'(0) = -3 < 0 $，递减 - 在 $ (1, +\infty) $ 上，取 $ x = 2 $，$ f'(2) = 9 > 0 $，递增 |
四、结论
求一个函数的单调区间是一个系统的过程，主要依赖于导数的分析与区间划分。掌握这一方法后，可以更准确地分析函数的行为，为后续的极值、凹凸性等问题奠定基础。通过以上步骤与表格的梳理，有助于提升理解和应用能力，避免常见错误。
