【线性微分方程基本公式】线性微分方程是数学中非常重要的一类方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。其特点是未知函数及其导数的系数为已知函数，且未知函数及其导数的次数均为一次。本文对线性微分方程的基本公式进行总结，并以表格形式展示关键内容。
一、线性微分方程的基本概念
线性微分方程的一般形式如下：
$$
a_n(x) \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x) y = f(x)
$$
其中，$ a_i(x) $ 是关于 $ x $ 的连续函数，$ f(x) $ 是非齐次项（若 $ f(x)=0 $，则称为齐次方程）。
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式为：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)
$$
其通解为：
$$
y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right)
$$
三、二阶线性微分方程
二阶线性微分方程的一般形式为：
$$
\frac{d^2 y}{dx^2} + P(x) \frac{dy}{dx} + Q(x) y = R(x)
$$
其通解由齐次方程的通解加上一个特解构成。
齐次方程的通解：
若特征方程为：
$$
r^2 + P(x) r + Q(x) = 0
$$
根据根的不同情况，通解形式不同。
四、常系数线性微分方程
对于常系数线性微分方程：
$$
a_n \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = f(x)
$$
其解法通常包括求齐次方程的通解和寻找非齐次方程的一个特解。
五、基本公式总结表
| 类型 | 方程形式 | 通解形式 | 特点 |
| 一阶线性 | $ y' + P(x)y = Q(x) $ | $ y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right) $ | 可用积分因子法求解 |
| 二阶齐次 | $ y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 $ | $ y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) $ | 依赖两个线性无关解 |
| 常系数齐次 | $ ay'' + by' + cy = 0 $ | 根据特征方程 $ ar^2 + br + c = 0 $ 解出 | 实根、复根、重根对应不同形式 |
| 非齐次 | $ y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x) $ | $ y = y_h + y_p $ | $ y_h $ 为齐次解，$ y_p $ 为特解 |
| 二阶常系数非齐次 | $ ay'' + by' + cy = f(x) $ | 通解为齐次通解加特解 | 特解可由待定系数法或算子法求得 |
六、结语
线性微分方程的求解方法多样，但核心思想在于分离变量、使用积分因子、特征方程分析以及构造特解。掌握这些基本公式和方法，有助于解决实际问题中的微分方程模型。在学习过程中，应注重理解公式的推导过程与适用条件，避免机械记忆。
