【雅可比迭代法的工作原理】雅可比迭代法是一种用于求解线性方程组的数值方法，尤其适用于系数矩阵为对角占优或严格对角占优的情况。该方法通过将方程组中的每个变量用其他变量的当前近似值进行表示，并逐步迭代逼近真实解。其核心思想是将系数矩阵分解为对角矩阵、下三角矩阵和上三角矩阵的组合，从而构造出迭代公式。
一、基本原理
对于一个线性方程组：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
$$
可以将其改写为如下形式：
$$
x_i = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1, j \neq i}^{n} a_{ij}x_j \right), \quad i = 1, 2, ..., n
$$
在雅可比迭代法中，每次迭代时使用的是前一次迭代得到的所有变量的值，而不是当前迭代中更新后的值。因此，它属于并行迭代方法。
二、迭代步骤
1. 初始猜测：选择一个初始向量 $ x^{(0)} = (x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, ..., x_n^{(0)}) $
2. 迭代计算：根据公式：
$$
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j=1, j \neq i}^{n} a_{ij}x_j^{(k)} \right)
$$
其中 $ k $ 是迭代次数。
3. 收敛判断：当相邻两次迭代结果之间的差异小于某个预设的精度阈值时，停止迭代。
三、特点与适用条件
| 特点 | 描述 |
| 并行性 | 每个变量的更新都基于前一次迭代的结果，适合并行计算 |
| 简单易实现 | 不需要存储额外矩阵，计算过程直观 |
| 收敛条件 | 需要系数矩阵满足对角占优或其他收敛条件 |
| 适用范围 | 适用于中小型稀疏矩阵，不适合病态方程组 |
四、示例说明
假设我们有如下线性方程组：
$$
\begin{cases}
4x_1 + x_2 = 5 \\
x_1 + 3x_2 = 5
\end{cases}
$$
改写为迭代形式：
$$
x_1^{(k+1)} = \frac{1}{4}(5 - x_2^{(k)}) \\
x_2^{(k+1)} = \frac{1}{3}(5 - x_1^{(k)})
$$
若初始猜测为 $ x^{(0)} = (1, 1) $，则：
- 第1次迭代：$ x_1^{(1)} = \frac{1}{4}(5 - 1) = 1 $；$ x_2^{(1)} = \frac{1}{3}(5 - 1) = 1.333 $
- 第2次迭代：$ x_1^{(2)} = \frac{1}{4}(5 - 1.333) = 0.917 $；$ x_2^{(2)} = \frac{1}{3}(5 - 1) = 1.333 $
继续迭代直到收敛。
五、总结
雅可比迭代法是一种简单且实用的数值方法，适用于特定类型的线性方程组。其优点在于实现简便、易于并行化，但对矩阵的性质有一定要求。在实际应用中，需结合问题特征选择合适的迭代方法，并确保收敛条件得到满足。
表格总结：雅可比迭代法关键要素
| 项目 | 内容 |
| 方法类型 | 迭代法（并行） |
| 适用条件 | 系数矩阵对角占优或严格对角占优 |
| 迭代公式 | $ x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij}x_j^{(k)} \right) $ |
| 收敛性 | 取决于矩阵特性，可能需要调整初始猜测 |
| 计算复杂度 | 每次迭代为 O(n²)，整体为 O(n³)（取决于迭代次数） |
| 优点 | 易实现、适合并行计算 |
| 缺点 | 收敛速度较慢、不适用于所有矩阵 |
