【什么是可导】在数学中，“可导”是一个非常重要的概念，尤其在微积分中占据核心地位。简单来说，函数在某一点可导，意味着该点处的函数图像存在一条唯一的切线，且该切线的斜率是有限的。换句话说，函数在该点的变化率可以被准确计算出来。
“可导”与“连续”密切相关，但两者并不等价。一个函数在某点可导，必然在该点连续；但一个函数在某点连续，并不一定可导。因此，“可导”是比“连续”更严格的条件。
下面我们将从定义、条件、例子和常见误区四个方面对“什么是可导”进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、定义
| 概念 | 定义 | |
| 可导 | 若函数 $ f(x) $ 在某一点 $ x_0 $ 处的极限 $ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $ 存在，则称 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可导。 | |
| 导数 | 函数在某点的导数表示该点处的瞬时变化率，记作 $ f'(x_0) $ 或 $ \frac{df}{dx}\bigg | _{x=x_0} $。 |
二、可导的条件
| 条件 | 说明 |
| 左右导数相等 | 函数在某点的左导数和右导数必须相等，即 $ \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $。 |
| 函数在该点连续 | 可导的函数一定在该点连续，但连续不一定可导。 |
| 图像无尖点或垂直切线 | 若函数图像在某点出现尖点或垂直切线，则该点不可导。 |
三、常见例子
| 函数 | 是否可导 | 说明 | ||
| $ f(x) = x^2 $ | 是 | 多项式函数在其定义域内处处可导 | ||
| $ f(x) = | x | $ | 否（在 $ x=0 $ 处） | 图像在原点有尖点，左右导数不相等 |
| $ f(x) = \sqrt{x} $ | 是（在 $ x>0 $ 处） | 在 $ x=0 $ 处导数趋于无穷，不可导 | ||
| $ f(x) = \sin(x) $ | 是 | 三角函数在其定义域内可导 |
四、常见误区
| 误区 | 正确理解 | ||
| 所有连续函数都可导 | 错误。例如 $ f(x) = | x | $ 在 $ x=0 $ 处连续但不可导 |
| 可导函数一定光滑 | 不完全正确。可导仅要求存在切线，不一定是光滑曲线 | ||
| 导数为零就是极值点 | 错误。导数为零可能是极值点，也可能是拐点或水平渐近线 |
总结
“可导”是函数在某一点具有唯一切线的数学表达，是研究函数变化率的基础。要判断一个函数是否可导，需检查其左右导数是否相等，并确保函数在该点连续。掌握“可导”的概念，有助于深入理解微分学的核心思想。
