【等比数列相关公式】等比数列是数学中常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。在学习和应用等比数列时，掌握相关的公式非常重要。以下是对等比数列常用公式的总结，便于快速查阅和理解。
一、基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数 $ q $（$ q \neq 0 $），则这个数列为等比数列。
- 首项：记作 $ a_1 $
- 公比：记作 $ q $
- 第 $ n $ 项：记作 $ a_n $
二、等比数列相关公式汇总
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第 $ n $ 项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | 用于求等比数列的任意一项 | ||
| 前 $ n $ 项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $（当 $ q \neq 1 $） | 求前 $ n $ 项的和 | ||
| 当 $ q = 1 $ 时的和 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 所有项都相等时的特殊情况 | ||
| 等比中项公式 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $ | 用于判断三个数是否为等比数列 | ||
| 无穷等比数列和（当 $ | q | < 1 $） | $ S = \frac{a_1}{1 - q} $ | 当公比绝对值小于1时，数列收敛于该和 |
三、典型应用举例
1. 求第5项
已知首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ q = 2 $，则第5项为：
$$
a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48
$$
2. 求前4项和
首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，则前4项和为：
$$
S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot 40 = 80
$$
3. 判断等比关系
若 $ a = 2 $，$ b = 6 $，$ c = 18 $，则 $ b^2 = 36 $，$ ac = 36 $，因此这三个数构成等比数列。
四、注意事项
- 当公比 $ q = 1 $ 时，数列为常数列，所有项都相等。
- 当公比 $
- 在实际问题中，如复利计算、人口增长等，等比数列有着广泛的应用。
通过以上内容可以看出，等比数列虽然形式简单，但其公式和应用场景却非常丰富。熟练掌握这些公式，有助于更好地理解和解决实际问题。
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