【数学求导公式大全】在数学学习中，导数是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握常见的求导公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。本文将系统总结常见的数学求导公式，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本求导法则
1. 常数的导数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数的导数
若 $ f(x) = x^n $（n 为实数），则
$$
f'(x) = nx^{n-1}
$$
3. 指数函数的导数
若 $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1），则
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
若 $ f(x) = e^x $，则
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 对数函数的导数
若 $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1），则
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
若 $ f(x) = \ln x $，则
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数的导数
- $ \sin x $ 的导数为 $ \cos x $
- $ \cos x $ 的导数为 $ -\sin x $
- $ \tan x $ 的导数为 $ \sec^2 x $
- $ \cot x $ 的导数为 $ -\csc^2 x $
- $ \sec x $ 的导数为 $ \sec x \tan x $
- $ \csc x $ 的导数为 $ -\csc x \cot x $
6. 反三角函数的导数
- $ \arcsin x $ 的导数为 $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \arccos x $ 的导数为 $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \arctan x $ 的导数为 $ \frac{1}{1 + x^2} $
- $ \text{arccot } x $ 的导数为 $ -\frac{1}{1 + x^2} $
7. 导数的四则运算规则
- 加法法则：$ (f + g)' = f' + g' $
- 减法法则：$ (f - g)' = f' - g' $
- 乘法法则：$ (fg)' = f'g + fg' $
- 除法法则：$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $
8. 链式法则
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
二、常见函数求导公式汇总表
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ -\frac{1}{1 + x^2} $ |
三、小结
导数是研究函数变化率的核心工具，掌握各类函数的求导公式对于理解数学本质和解决实际问题具有重要意义。通过上述总结与表格，可以快速查找和应用各种常见函数的导数表达式。建议在学习过程中结合练习题反复巩固，提升对导数概念和应用的熟练程度。
