【什么叫做二元函数全微分求积】在多元微积分中，“全微分求积”是一个重要的概念，尤其在处理二元函数时，它与“全微分”和“路径无关的积分”密切相关。理解这一概念有助于我们更深入地掌握多变量函数的积分性质及其应用。
一、
所谓“二元函数全微分求积”，是指在某一区域内，给定一个二元函数 $ f(x, y) $，若其全微分为 $ df = P(x, y)dx + Q(x, y)dy $，那么该全微分在某条路径上的积分就称为“全微分求积”。如果该积分仅依赖于起点和终点，而不受路径影响，则称该积分是“路径无关”的，此时对应的函数 $ f(x, y) $ 是某个势函数的梯度，即存在原函数。
要判断一个二元函数的全微分是否可积，通常需要满足一定的条件，如偏导数的对称性（即 $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $）。若满足此条件，且区域是单连通的，则全微分可以求积，并可通过构造原函数来计算积分值。
二、表格展示
| 概念 | 定义 | 说明 |
| 全微分 | 若函数 $ f(x, y) $ 可微，则其全微分为 $ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy $ | 表示函数在点 $ (x, y) $ 处的微小变化量 |
| 全微分求积 | 在区域 $ D $ 内，对全微分 $ df = P dx + Q dy $ 沿某条路径从点 $ A $ 积分到点 $ B $ | 即 $ \int_A^B P dx + Q dy $ |
| 路径无关 | 如果对任意两点 $ A $、$ B $，积分结果只与起点和终点有关，而与路径无关 | 此时称该全微分为“恰当微分” |
| 条件 | 若 $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $，且区域单连通，则全微分可积 | 这是判断全微分是否可积的重要条件 |
| 原函数 | 存在函数 $ f(x, y) $，使得 $ df = P dx + Q dy $ | 此时称 $ f(x, y) $ 是 $ P dx + Q dy $ 的原函数 |
| 应用 | 用于解决保守场中的路径积分问题 | 如静电场、重力场等物理问题 |
三、结论
“二元函数全微分求积”本质上是研究全微分在积分过程中的可积性与路径无关性。它不仅是数学分析中的重要工具，也在物理学、工程学等领域有广泛应用。掌握这一概念，有助于理解多变量函数的积分性质，并为后续学习曲线积分、曲面积分等打下基础。
